椭圆的两个焦点F1、F2,M点是椭圆内一点,向量MF1×向量MF2=0,求椭圆离心率的取值范围?请赐教!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 15:32:02
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椭圆的两个焦点F1、F2,M点是椭圆内一点,向量MF1×向量MF2=0,求椭圆离心率的取值范围?请赐教!
椭圆的两个焦点F1、F2,M点是椭圆内一点,向量MF1×向量MF2=0,求椭圆离心率的取值范围?请赐教!
椭圆的两个焦点F1、F2,M点是椭圆内一点,向量MF1×向量MF2=0,求椭圆离心率的取值范围?请赐教!
因为向量MF1×向量MF2=0,所以它们的夹角为90度,
因此M的轨迹是以椭圆中心为圆心,以半焦距c为半径的圆;
依题设此圆内含于椭圆,所以c1,
则b^2/c^2>1,
(b^2+c^2)/c^2=a^2/c^2>2,
所以c^2/a^2=e^2
椭圆的两个焦点F1、F2,M点是椭圆内一点,向量MF1×向量MF2=0,求椭圆离心率的取值范围?
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1,左焦点为F₁(-c,0),右焦点为F₂(c,0);M为椭圆内的一点,设其坐标为(x,y),则:向量MF₁=(x+c,y);向量MF₂=(x-c,y);
已知M...
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椭圆的两个焦点F1、F2,M点是椭圆内一点,向量MF1×向量MF2=0,求椭圆离心率的取值范围?
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1,左焦点为F₁(-c,0),右焦点为F₂(c,0);M为椭圆内的一点,设其坐标为(x,y),则:向量MF₁=(x+c,y);向量MF₂=(x-c,y);
已知MF₁•MF₂=(x+c)(x-c)+y²=x²-c²+y²=0,故得x²+y²=c²,即M(x,y)是在以原点为圆心,以半
焦距c为半径的圆上;由于M在椭圆内,故恒有x²+y²=c²=1-e²,故得2e²<1,e²<1/2,即0
收起
(MF1+MF2)/2 ≤√ [(MF1²+MF2²)/2],MF1²+MF2²=4c²
∴(MF1+MF2)²≤2(MF1²+MF2²),即4a²≤2*4c²,e≥√2/2.
∴√2/2≤e<1