在四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两垂直,与底面所成二面角分别为α,β,γ,试证明在四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两垂直,与底面所成二面角分别为α,β,γ,试证明cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1cos
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 19:50:52
![在四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两垂直,与底面所成二面角分别为α,β,γ,试证明在四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两垂直,与底面所成二面角分别为α,β,γ,试证明cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1cos](/uploads/image/z/7247076-60-6.jpg?t=%E5%9C%A8%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93P-ABC%E4%B8%AD%2C%E8%8B%A5%E4%B8%89%E4%B8%AA%E4%BE%A7%E9%9D%A2PAB%2CPBC%2CPCA%E4%B8%A4%E4%B8%A4%E5%9E%82%E7%9B%B4%2C%E4%B8%8E%E5%BA%95%E9%9D%A2%E6%89%80%E6%88%90%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BA%CE%B1%2C%CE%B2%2C%CE%B3%2C%E8%AF%95%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%9C%A8%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93P-ABC%E4%B8%AD%2C%E8%8B%A5%E4%B8%89%E4%B8%AA%E4%BE%A7%E9%9D%A2PAB%2CPBC%2CPCA%E4%B8%A4%E4%B8%A4%E5%9E%82%E7%9B%B4%2C%E4%B8%8E%E5%BA%95%E9%9D%A2%E6%89%80%E6%88%90%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BA%CE%B1%2C%CE%B2%2C%CE%B3%2C%E8%AF%95%E8%AF%81%E6%98%8Ecos%5E2%CE%B1%2Bcos%5E2%CE%B2%2Bcos%5E2%CE%B3%3D1cos)
在四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两垂直,与底面所成二面角分别为α,β,γ,试证明在四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两垂直,与底面所成二面角分别为α,β,γ,试证明cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1cos
在四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两垂直,与底面所成二面角分别为α,β,γ,试证明
在四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两垂直,与底面所成二面角分别为α,β,γ,试证明cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1
cos^2α是指α余弦的平方
在四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两垂直,与底面所成二面角分别为α,β,γ,试证明在四面体P-ABC中,若三个侧面PAB,PBC,PCA两两垂直,与底面所成二面角分别为α,β,γ,试证明cos^2α+cos^2β+cos^2γ=1cos
设PA = a,PB = b,PC = c,
则:AB^2 = a^2+b^2,BC^2 = b^2 +c^2,AC^2 =a^2 +c^2.
由余弦定理:cos角ABC = [b^2]/[根号(a^2+b^2)(b^2+c^2)]
sin角ABC =根号{ [(a^2+b^2)(b^2+c^2)]-b^4]}/根号[(a^2+b^2)(b^2+c^2)]
三角形ABC的面积为S=(1/2)AB*BC*sin角ABC
=(1/2)根号 [(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)]
三角形PAB,PBC,PAC的面积分别为:s1,s2,s3 .
分别有s1= (1/2)a*b,s2=(1/2)bc,s3= (1/2)ac.
由投影定理:s1 = S*cosα,s2= S*cosβ s3 = S*cosγ
即:cosα=(s1)/S,cosβ = (s2)/S cosγ= (s3)/S.
则有:(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2=[(s1)^2 +(s2)^2 +(s3)^2]/[S^2]
=(1/4)[(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)]/{(1/4)[(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)]}=1.
即有::(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2 = 1.