函数的单调性与最值已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x²-2.当a=-1时,求函数f(x)在[m,m+3](m>0)上的最值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 19:22:16
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函数的单调性与最值已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x²-2.当a=-1时,求函数f(x)在[m,m+3](m>0)上的最值.
函数的单调性与最值
已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x²-2.当a=-1时,求函数f(x)在[m,m+3](m>0)上的最值.
函数的单调性与最值已知f(x)=xlnx-ax,g(x)=-x²-2.当a=-1时,求函数f(x)在[m,m+3](m>0)上的最值.
a=-1,则f(x)=xlnx+x.
f(x)=xlnx+x.
f'(x)=lnx+2.
令f'(x)>0,<0.
得x∈(e⁻²,+∞)时,f'(x)>0;x∈(0,e⁻²)时,f'(x)<0.
从而f(x)在(0,e⁻²)递减,(e⁻²,+∞)递增.
①当m≥⁻²时,此时,f(x)在[m,m+3]递减.
故f(x)max=f(m)=mlnm+m,f(x)min=(m+3)ln(m+3)+m+3.
②当0<m<e⁻²时,f(x)在[m,e⁻²)递减,(e⁻²,m+3]递增.
从而f(x)min=f(e⁻²)=-e⁻².
对于f(x)max:
f(m)=mlnm+m,f(m+3)=(m+3)ln(m+3)+m+3.
f(m)-f(m+3)=mln(m/(m+3)-3ln(m+3)-3.
∵m/(m+3)<1,m+3>3.
∴mln(m/(m+3)<0,ln(m+3)>0.
∴f(m)-f(m+3)<0,则f(m)<f(m+3).
从而f(x)max=f(m+3)=(m+3)ln(m+3)+m+3.
综上,0<m<e⁻²时,f(x)max=f(m+3)=(m+3)ln(m+3)+m+3,f(x)min=f(e⁻²)=-e⁻².
当m≥e⁻²时,f(x)max=f(m)=mlnm+m,f(x)min=(m+3)ln(m+3)+m+3.